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中学数学开放性教学研究

作者: 来源:南宁市育才实验中学 陈玲俐 发布时:2014-1-14 12:09:51

【摘 要】传统教育在很大程度上是一种封闭式教育,在这种传统式的教学中已经呈现出严重的弊端。针对传统的封闭式的教学而言,出现了开放性的教学模式。开放性数学教学有利于培养学生的创造性人格和创造性思维。本文阐述了中学数学教学中开放性教学的尝试,以及开放性数学教学的必要性和可行性。

 

关键词】中学数学   教学方法   开放性

 

一、明确开放性教学的意义,开放教学观念

(一)、开放性数学教学

开放教育源于1969年英国开放大学的建立,最初是为解决高中以后的成人教育问题。因为成人有更多的自由,更注重自学能力,不必一定采用统一模式集中学习,开放教育应运而生。开放教育强调以学习者为中心,学习是基于个人的需要而不是教师和学校的兴趣,至于学什么,怎样学,什么时间学,在什么地点学,都给予学习者最大的自主权,要求教师成为学生学习的管理者和辅导者。

1977年日本国立研究所以岛田茂为首的27人的日本数学教育学者小组,发表《算术、数学课的开放式问题— 改善教学的新方案》报告文集,首先提出“数学开放题”(Open-ended problems)这个名词。开放题已进入日本的数学课本,并已占一定的比例。开放题作为研究“问题解决”热潮中的产物,在美国中小学数学教学中己被普遍地使用。美国加利福尼亚州教育部于1989年专门指出了开放性问题的五大功能,其中谈到开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。

70年代出现“开放性问题”以来,“数学开放题”与“数学开放教学方法(open-ended teaching approach)”在国际数学教育界已成为热门话题,开放性的数学教学模式也成为世界性的数学教学新趋势。但是,自19988月第一届东亚会议提出数学教育的“全球化”,“开放化”,“信息化”以来,对开放性的数学教学至今也没有一个明确的定义。

200071日至86日在东京召开第九届国际数学教育大会,日本学者桥本吉彦提出“开放式数学教学— 思维开放,题目开放,过程开放”是对开放性教学的明确解释。随着新一轮课程改革课程标准的提出,新教材新理论的推行,“开放式教学”己经成为一个热点。

日本的能田伸彦积极主张将数学开放题的研究引向开放式数学教学.他的看法是:我们必须弄清楚什么是开放的数学和学生的活动.这应从三个方面加以考虑(1)学生的活动是开放的;(2)数学活动包含不同的思维方式;(3)学生和数学活动融为一体.“只有当教师考虑学生的数学思维和建议,而且进一步应用于发展性的问题解决的数学活动中去时,教学中的学生活动和数学活动才谈得上是开放的”。

80年代以来,数学开放题被介绍到中国,90年代出现在教材中并进行教学中的试验;95年戴再平先生作了系统的研究, 19972月,“开放题----数学教学的新模式”立项为全国教育科学“九五”规划重点课题.98年首次出现于全国高考数学试题中。20003月以后,随着《中小学数学开放题丛书》的陆续出版,我国中小学数学开放式教学的研究方兴未艾,已引起了国际人士的注意近二十年来,数学开放题作为开放式教学的切入点,教学试验广泛进行.我们高兴地看到,近几年来,开放题出现在各省市的中高考试题中。特别地,随着新一轮教育改革的实施,很多开放题被编入了数学教材,为开放题的教学提供了条件和广阔的空间。

(二)、开放性教学观念

开放性教学不能简单地被理解或执行为自由式(或放羊式)教学,它应该有先进的教育思想和科学的教学方法作指导。其次,开放性教学不能简化为一种教学模式,因为它不可能像其它模式一样有固定不变的教学程式,开放性教学应作为一种教学思想指导全过程,只有这样,我们才能真正领悟开放性教学的精髓。

    开放性教学思想的形成与建立应该体现时代的需要,尊重学生身心发展的规律。和传统教学思想相比,突出表现在以下三个方面。

    1、育人观。开放性教学认为人才的类型应该走多层次、多规格发展的道路。因此,它不要求学生达到相同的高层次教学目标(事实上,任何教学都很难达到这一要求)。这一点在现行的新课标中已经有所体现。

    2、教学观。开放性教学允许课堂教学的容量有弹性变化,这样就避免了某些教师为片面追求备课设计的完整性而只念教案,不管学生是否吃得消或吃得饱的现象。另一方面,开放性教学强调知识的辐射,有利于学生认知结构的构建与发展。

    3、师生观。开放性教学认为,学生是学习的主体,师生是平等的合作者,师生之间的多层次互动是课堂教学的情感动力。因此,它强调教师必须放下架子,主动地亲近学生。

二、开放性教学的基本策略

(一)、创设开放环境,开放教学内容

1 深化概念教学,使之具有开放性

要培养学生的创新精神,必须克服思维的封闭状态和对所学知识的僵化理解,在开放性教学中,教师应从概念教学着手,适度引入开放性的概念教学,尽力创设充满求知欲望的教学情境,提出富于启发性的问题,善于捕捉学生创造性思维的兴奋点,鼓励学生去探索、去发现,从而使学生在“开放”的环境中主动、愉快地学习知识。因此,开放性问题就是开放性数学教学的最好切入点。

例如:两角和余弦的导出与论证。

1:两角和余弦公式( )的导出与证明。

▲教学过程:

:前面我们从函数的角度己经学习三角函数的两大块问题,

第一,己知角 ( 的终边),利用诱导公式(或者三角函数的定义)求角 的其余三角函数的值;

第二,已知角 的某一个三角函数值,利用同角三角函数的基木关系(或从中求出角 ),求角 的其余三角函数的值。如:

问题1

问题2 ,求角 的其余三角函数值。今天继续求三角函数的值。下面老师给出问题(组)3  (学生齐答):  (学生齐答):  (学生沉默)一分钟后,学生1试着回答 ,过一会儿,学生1自己否定了自己的想法,他说:因为 还是求不出。

学生2

学生3:学生2不对,因为由此 ,显然不对。

学生4:但学生2的想法是正确的,因为 这两角能处理。说明下面我们要解决的问题是将 转化为 或与 有关   的三角函数值。就这样很自然地转入了对两角和的余弦公式的推导。给学生时间,并提问怎样解决 ?这时学生能意识到利用正弦、余弦的三角函数线,(点评:学生的思维是开放的,如果直接给出公式 ,对学生来说就会有一系列疑问:为什么要学这一公式; 学了有什么用;为什么偏要这么想等等)。并画图得:

 

Y

X

P1

P2

P3

P4

P5

A

O

C

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


找到相应的三角函数线: 的余弦线为 , 的余弦线为 , 的余弦线为 ,然而从图上可以观察到很难直接找到 , , 的关系,原因在于这些三角函数线很“散”,故想办法使它们集中在一起,这样学生比较容易想到将它们集中于一个三角形,而且必须是包含角 的三角形,故联系三角形 ,继而想到利用三角形全等,需构造一个与三角形 全等的另一个三角形。学生沉默,(大约3分钟),此时教师擦除线段 ,于是就有了:      

学生5:想到另一方向作角 ,即- ,如下图。一种顿悟,天才的建构。(点评:学生建构问题解决的策略是开放的,对- 的引入,教师必须体现课堂中的“导”的作用,如“清除”学生建构过程中的“障碍” (擦除线段OP5),甚至于必要的语言“提示”,促使学生的主动建构)

Y

X

P1

P2

P3

P4

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


这样构造 ,然后利用三角形全等得: ",又

 (1,0 )  ( ),  ( ).

 ( , )让学生自己化简得

▲教学过程分析:

(1)两角和的余弦公式是整章三角公式的基石,起着承上启下的作用,所谓承上是指诱导公式是两角和的特例,而所谓启下是指后面的倍角、半角是两角和的特例。

(2)两角和的几个教学难点分析

第一:为什么要两角和,从 (自然的两角和),到 (没用的两角和),到  (必须的两角和)

第二: 自然的迁移,一种直觉、否认,是学生的一种对原认知的重新建构。

第三:对于两角和余弦公式 的证明,利用三角函数线转化为 是一种自然的建构,同时要让学生体验散乱的余弦线很难得到 ,这样学生就会想到利用三角形全等这一原认知。

第四:构建 是证明公式的最大难点,对 的引入如果处理不好就会让学生觉得“帽子里跳出来的兔子”,此时确实需要发挥教师的“导”作用,如:() 的确定、线段 的擦除,从而让学生能相对自然地建构起

2、改造课本的例题习题,使之具有开放性

数学教学是学生创造(再创造)性的活动过程,数学教学是学生创造(再创造)性的活动过程,仅靠教师的传授还不能使学生获得真正的数学知识,如果针对课本例习题适当引入加以改造,使之具有开放性,作为开放性的教学内容,为学生创造性习提供必要的素材,就能使学生在对问题的独立思考、积极探索中,达到对数学知识的灵活运用,达到开发智力、增强能力的目的。

例如在学习了长方体的概念之后,我们可以给出下面的例题:

2:满足下面两个条件的长方体是否存在?若不存在请说明理由,若存在请证明。

(1)    对角线是8

(2)    长、宽、高之和为14

 分析 设长方体的长、宽、高分别为 ,则 

       1

       2

 将(2)式平方得        

                       

另一方面

即有

  这是不可能的,故满足条件(1)、(2)的长方体是不存在的。

  这类题的解法往往与代数知识相联系,具有开发思维的功能。

(二)、拓宽学习空间,开放教学过程

建构主义学习理论强调以学生为中心,认为学生是认知的主人,是知识意义的主动建构者;而教师在整个教学过程中起组织者、指挥者、帮助者和促进者的作用。根据建构主义学习理论思想,在数学教学活动中,学生是主体,没有学生的积极参与就没有名副其实的教学活动。开放题具有足够的灵活性,给学生留有足够的思维空间,因此,开放性教学要让学生始终处于主动参与的状态,在教师的组织、指导、鼓励下,不断地提出新问题,解决新问题。

1、利用一题多变,一题多解,拓宽学生的思维空间

   利用命题的不完备性及答案的多样化,激发学生解题的欲望,从而进一步的培养学生思维能力,拓宽学生的思维空间,而不在拘泥于课本的知识点中。充分体现了学生在学习中的主体地位。

D

C

C

D

3  在我国江汉平原上, 有四个村庄恰好坐落在边长为2 米的正方形顶上为此需要建立一个使得任何两个村庄都可有通道的道路网,请合理设计一个道路网,使它的总长度不超过5.5 千米。  = 1. 4142 ,   = 1. 7321

A

O

P

B

E

F

A

B

O

 

 

 

 

 

 


2                              3

分析 这是一道策略开放题, 题目给出了问题的情景条件)及基本要求(结论 要求学生根据题意对一些常见的可能设计进行列举、试算、取舍, 然后逐步逼近题目的本质解法,这种解答、推理过程没有现成的模式可套,有较强的开放性。

设四个村庄分别为  

1 沿正方形四条边  修建道路网,总长度是8 千米,不符合要求。

2 连结两条对角线可作通道,可算出总长度是4 2 > 5. 5 ,也不符合要求。

3 由平面几何的知识知道, 在正方形  所在平面内任取一点 , 连结   所修成的道路网, 当点  重合于  ,道路网必最短(如图2) ,但由(2) 知也不符合要求。

4 要减少总长度, 必须增加公共部分, 注意到正方形既有轴对称,又有中心对称的性质,故过中心  修一段公共道路 如图3 , 使  ,

 =  =  (0 1) ,则道路网的总长度  = 2 + ,  5.5 ,  2 + 5.5,

化简得:       48 - 40  + 7 0 ,

解得     . 此时  [   ] < [0 ,1]

据此可有无数种道路网设计方案,满足要求。

根据设计方案(4) , 我们可以算出 的最小值,即最佳的设计方案。

由   = 2 + ,

得 (  - 2 )2 = ,

化简整理,    12  - 4(8 - )  + (32 - ) = 0 ,

由△=  - 4×12 ×(32 - ) 0 ,

-4 -8 0 ,因为 > 0 ,

所以  2(1 + ) ,

此时可求出

=  . =   , = 2(1 + ) 5.4642.

即道路网的最短长度约为5.4642 千米。

2以开放题为载体,拓宽学生的创新空间

 近几年来在高考题中不断出现开放题,侧重了对学生数学能力的灵活考查。

4:如图所示,在直四棱柱 中,当底面四边形 满足条件       时,有 (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)。(1998年全国高考)

[分析与解]  逆向思考。因为 。由三垂线定理得 。事实上, 的充要条件,而题目只需填写一个充分条件,答案举例如下:                           

D1

C1

B1

A1

D

A

1

C

2 是正方形.

B

3 是菱形.            

 4 .  

5            

 6

7        

8 底面 的对角线平分一组对角.

9 底面 关于对角线对称.

三、注重教学的过程性

     在开放性教学中教师不仅要组织、促进、调节学生的活动,还要参与到学生的活动中去,及时解决学生的疑难问题,最后还要对典型问题进行集中点评。在开放性教学中,缺少了老师权威性的结论,学生就会产生各种不同的答案和解法。如果没有教师的集中点评,学生就会获得一个模棱两可的结论,甚至是一个错误的或不科学的东西。开放性教学应注意以下几个问题:

   (一)在教学时,不应追求任何一种强制的统一,教师应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。

(二)教学中,要给学生充分的思考时间和活动空间,应当给各种不同意见以充分表达的机会,包括让其他学生都所说的不同看法能有一个理解和评价的机会。

(三)开放性教学,要选择好联系实际的开放题,题量和难度要合适,不可从封闭性题的“题海战”走向开放性题的“题海战”。

(四)在编制开放题时,要掌握适度,不要为开放而开放,而应根据教学大纲的要求和着眼于学生能力的发展,这样才不至挫伤学生的学习积极性,从而更好地保护学生的创新精神。

(五)在评价学生的解题时,对学生的每一点进步都要肯定,而不要过分追求完整的答案。

  

结束语: 开放性数学教学是一种新的教学趋势。开放性数学教学不应该排斥传统教学,是传统教学的一种补充。只有通过教学实践才能体会到,开放性中学数学教学只是为学生高层次思维的发展提供了一种可能性;开放性中学数学教学对学生的要求很高,不仅要求学生有较高认知水平,还要有较强的主动参与意识,才能有开放的气氛;不仅要求教师能放开,还要求教师收得回来,这样才能收放自如。只有在教学实践中逐步摸索经验,才能真正有效地进行开放性教学。

 

 

参考文献:

 

[1]戴再平主编,中小学数学开放题丛书《开放题-一数学教学的新模式》,

上海教育出版社,  20021月。

[2]戴再平,《数学习题理论》,上海教育出版社,1996

[3]叶芳琴 陈樟仙,浅议立体几何开放题,数学通报,1996 [11]

[4]黄彩祥,数学教育中的开放性问题研究,万方《中国学位论文全文数据库》,

20045月。       

[5]王勇,《数学开放题分类例》,高等函授学报(自然科学版) 14[2]20014月。